Primelement

Beschreibung

Primelemente scheinen mir neben Irreduzibles Element eine andere Art zu sein Primzahlen auf andere Ringe zu verallgemeinern.

Definition

Sei $R$ ein Kommutativer Ring. Ein Element $p\in R$ heißt Primelement, wenn $p$ weder eine Einheit noch Null ist und außerdem die Implikation $p|ab⟹p|a\text{ oder }p|b$ für alle $a,b\in R$ erfüllt ist.¹

Q: Wie ist ein Primelement definiert? A: Ein Element $p\in R$ heißt Primelement, wenn $p$ weder eine Einheit noch Null ist und außerdem die Implikation $p|ab⟹p|a\text{ oder }p|b$ für alle $a,b\in R$ erfüllt ist.

Charakterisierung

In Integritätsbereich

Sei $R$ ein Integritätsbereich und $p\in R,p\ne 0_R$. Genau dann ist $p$ ein Primelement, wenn

• das Hauptideal $(p)$ ein Primideal ist.²

In Hauptidealring

Sei $R$ ein Hauptidealring aber kein Körper und $p\in R$. $p$ ist genau dann prim, wenn

• $p$ ist irreduzibel ODER
• Das Ideal $(p)$ ist maximal ODER
• Das Ideal $(p)$ ist ein Primideal und es gilt $p\ne 0$³

Eigenschaften

Zusammenhang mit Irreduziblen Elementen

In jedem Integritätsbereich ist jedes Primelement irreduzibel.

Footnotes

1. Gerkmann - Definition 10.4 ↩

2. Gerkmann - Proposition 10.10 ↩

3. Gerkmann - Satz 10.11 ↩