Trisektion (4D-Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Wir wollen ein Analog für Heegaard-Zerlegung der 4D-Mannigfaltigkeiten finden. Das Ergebnis ist die Trisektion. Hierbei wird eine $4$-dimensionale Mannigfaltigkeit in drei $1$-Henkelkörper zerlegt.

Definition

Eine $(g,k_1,k_2,k_3)$-Trisektion einer geschlossenen, zusammenhängenden, orientierten $4$-Mannigfaltigkeit $X$ ist eine Zerlegung von $X$ in drei Untermannigfaltigkeiten $X_1\cap X_2\cap X_3$, die die drei Voraussetzungen erfüllen:

1. $X_i$ sind $4$-dimensionale $1$-Henkelkörper d.h. Für jedes $i=1,2,3$ gibt es einen Diffeomorphismus ${\varphi }_i:X_i\to {♮}^{k_i}(S^1\times B^3)$
2. $2$-Schnitte sind $3$-dimensionale $1$-Henkelkörper d.h. Für jedes $i=1,2,3$ gilt für Indizes mod $3$: $X_i\cap X_{i+1}\cong {♮}^g(S^1\times B^2)$
3. $3$-Schnitte sind $2$-dimensionale Tori d.h. es gilt $\Sigma =X_1\cap X_2\cap X_3\cong {\#}^g{T}^2$

Der dreifache Schnitt $X_1\cap X_2\cap X_3$ ist eine Fläche von Geschlecht $g$ und wird als Trisektionsfläche bezeichnet. Es gilt $\chi (X)=2+g-3k$. Damit ist $k$ durch $X$ und $g$ eindeutig festgelegt. Wir sagen daher häufig einfach nur Geschlecht-$g$-Trisektion von $X$.

Eigenschaften

Eigenschaft

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