Glatte Abbildung (Glatte Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Wir wollen eine Definition für Glatte Funktionen auf Mannigfaltigkeiten finden. Was bedeutet es z.B. dass eine Funktion auf einer Kugel glatt ist?

Wir nutzen die Karten einer Mannigfaltigkeit. Eine Abbildung ist glatt, wenn sie in Karten glatt ist.

Definition

Sei $f:M\to N$ eine Abbildung zwischen zwei glatten Mannigfaltigkeiten. Dann bezeichnen wir $f$ als glatt, wenn für alle Karten $\phi$ auf $M$ und $\psi$ auf $N$ die Abbildung $\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^m$ eine Glatte Abbildung ist.

Q: Glatte Abbildung (Manigfaltigkeit) Eine Abbildung $f:M\to N$ ist glatt, wenn sie in Karten $\psi \circ f\circ {\phi }^{-1}$ glatt ist.

Eigenschaften

Beispiele

Glatte Skalare Funktion

$\mathbb{R}$ ist auch eine Mannigfaltigkeit und so erhalten wir eine Möglichkeit, Glattheit für Funktionen $f:M\to \mathbb{R}$ zu definieren.

$f$ ist glatt, wenn $f\circ {\phi }^{-1}$ glatt ist.

\newcommand{\R}{\mathbb R}