Parallelität (Geraden)

Beschreibung

Parallelität kennt man doch.

Definition

Wir nennen zwei Geraden $G^{\prime }=p+V,G^{\prime }=p^{\prime }+V^{\prime }$ parallel, wenn $V=V^{\prime }$.

Charakterisierende Eigenschaften

Durch Hausdorff-Abstand

Zwei Geraden sind parallel, wenn der Hausdorff-Abstand endlich ist. Sonst sind die Geraden nicht parallel.

Eigenschaften

In ${\mathbb{R}}^2$

Schnitt

In der Ebene ${\mathbb{R}}^2$ gilt: Zwei Geraden sind parallel genau dann wenn $G\cap G^{\prime }=\varnothing$ oder $G=G^{\prime }$.

Sonst ist $G\cap G^{\prime }$ ein Punkt. In größeren Dimensionen stimmt das nicht mehr im Allgemeinen

Parallelaxiom

In der Ebene gilt: Für Gerade $G$ und Punkt $q$ gibt es genau eine Gerade durch $q$, die disjunkt/parallel zu $G$ ist (Parallelaxiom)

\newcommand{\R}{\mathbb R}