Induzierter Homomorphismus (Fundamentalgruppe)

Beschreibung

Wir studieren Homöomorphismen von Topologischen Räumen indem wir beobachten, wie sie auf bestimmten Objekten wirken. Eines dieser Objekte ist die Fundamentalgruppe.

Definition

Sei $f:X\to Y$ ein Homöomorphismus. Dann induziert dieser einen Gruppenhomomorphismus auf der Fundamentalgruppe $f_{\ast }:{\pi }_1(X,x_0)\to {\pi }_1(Y,f(x_0))$.

Dieser Vorgang ist ein Funktor von der Kategorie der Toologischen Räume zu der Kategorie der Gruppen und besitzt damit die Eigenschaft

• $(fg{)}_{\ast }=f_{\ast }{g}_{\ast }$
• $i{d}_{\ast }=id$

Eigenschaften

Invarianz unter Fußpunkterhaltenden Homotopien

Sei $\phi :(X,x_0)\to (Y,y_0)$ eine Fußpunkt-erhaltende Homotopie. (d.h. ${\phi }_t(x_0)=y_0$ für alle $t$). Dann gilt ${\phi }_{0\ast }={\phi }_{1\ast }$.

Das muss nicht erfüllt sein, wenn die Abbildung nicht Fußpunkterhaltend ist. Betrachtet man zum Beispiel, wie ein Zopf auf einer Kurve um eine Bohrung wirkt, so könnte man durch Bewegung des Fußpunktes eine Menge an Windungen rückgängig machen. Der Induzierte Homomorphismus hätte sich damit verändert.

lit_hatcherAlgebraicTopology2002