Zusammenhang der Sphäre

Beschreibung

Auf der Sphäre lässt sich ein Linearer Zusammenhang definieren. Dies erfolgt durch den Projektiver Zusammenhang.

Definition

Projektiver Zusammenhang

Betrachte die Mannigfaltigkeit $S^2\subseteq {\mathbb{R}}^3$. Für alle $p\in S^2$ gibt es eine Tangentialebene $p^{\perp }:=T_p^{sub}{S}^2$. Wir definieren nun eine Orthogonale Projektionsabbildung, die Punkte der Sphäre auf diese Tangentialebene abbildet: ${\Pi }_p:{\mathbb{R}}^3\to p^{\perp }$ Das erlaubt uns nun, die Verbindung zu definieren: $({\nabla }_{V}W{)}_p={\Pi }_p(D_p\hat{W}(V(p)))$ Wobei $\hat{W}(v)=W(\frac{v}{\Vert v\Vert })$ eine Fortsetzung auf eine Umgebung außerhalb der Sphäre ist.