Hauptidealring

Beschreibung

Ein Hauptidealring (engl. principal ideal domain, PID) ist ein Integritätsbereich, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist.

Hinreichende Kriterien

• Jeder Körper ist ein Hauptidealring (da $(1)$ und $(0)$ die einzigen Ideale sind)
• Jeder Euklidischer Ring ist ein Hauptidealring.
• Jeder Polynomring $K[x]$ über einen Körper $K$ ist ein Hauptidealring

Beispiele

Die Ganzen Zahlen

Die Ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ sind ein Hauptidealring

Kein Hauptidealring

$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ ist kein Hauptidealring, denn $\mathbb{Z}[3,1+2\sqrt{-5}]$ ist Hauptideal.

Gaußsche Zahlen

Die Gaußschen Zahlen $\mathbb{Z}[i]$ sind ein Hauptidealring

Polynomring der Ganzen Zahlen

Der Polynomring der Ganzen Zahlen $\mathbb{Z}[x]$ ist kein Hauptidealring

Polynomringe von Körpern

Jeder Polynomring eines Körpers ist ein Hauptidealring.