Vergleichsscharnier

Beschreibung

Wir wollen ein Scharnier aus einer beliebigen Riemannsche Mannigfaltigkeit nehmen und ein Analogon dazu in einer Mannigfaltigkeit finden, die leichter zu verstehen ist.

Definition

Sei $(c_1,c_2)$ ein Scharnier in $(M,g)$. Ein Vergleichsscharnier in $M_{\kappa }^2$ ist ein Scharnier $({\bar{c}}_1,{\bar{c}}_2)$ in $M_{\kappa }^2$ wobei die Geodätischen die gleiche Länge und den gleichen Öffnungswinkel wie im vorherigen Scharnier haben.

Eigenschaften

Vergleiche von Scharnieren

Sei $(M,g)$ Riemannsche Mannigfaltigkeit, mit Krümmung kleiner als $\kappa$. Sei $U\subseteq M$ eine konvexe Total normale Umgebung. Sei $(c_1,c_2)$ ein Scharnier und $({\bar{c}}_1,{\bar{c}}_2)$ das Vergleichsscharnier in $M_{\kappa }^2$. Dann ist die Kurve $c$, die die Enden des Scharniers $(c_1,c_2)$ verbindet kürzer als die analoge Kurve $\bar{c}$.