2-Sphäre

Beschreibung

Hier werden spezielle Eigenschaften der zweidimensionalen Sphäre diskutiert.

Definition

Quotient eines Torus

Diese Definition ist etwas ungewöhnlich aber sehenswert. Man kann mit einem 2-Torus beginnen und alle Punkte miteinander identifizieren, die durch die natürliche Hyperelliptische Involution $ı$ aufeinander abgebildet werden. Dann gilt $T^2/ı=S^2$

Eigenschaften

Beispiele

$4$-fach durchbohrte $2$-Sphäre

Entfernen wir vier Punkte aus der $2$-Sphäre. so erhalten wir das Objekt $S_{0,4}$. (Eine Fläche von Geschlecht (Topologie) $0$, mit $4$ Bohrungen).

Abbildungsklassengruppe

Sei $T^2$ der 2-Torus. Bilden wir den Quotienten mit der Hyperelliptische Involution, so erhalten wir als Ergebniss die Sphäre. Man kann zeigen, dass eine Homotopieklasse des Torus injektiv auf eine Homotopieklasse der Sphäre abgebildet werden, bei der man die vier Bilder der Weierstraß-Punkte herausgebohrt hat.

Diffeomorph zu $P\mathbb{C}$

Die $2$-Sphäre ist diffeomorph zu Komplexer Projektiver Raum $P\mathbb{C}$.

Beweis: Wir nehmen jeweils zwei Karten von $P\mathbb{C}$ und $S^2$, nämlich die Steigungskarte und die Stereographische Projektion. Durch Verkettung erhalten wir unseren Diffeomorphismus.

Alternativ gilt für jedes Element von ${\mathbb{C}}^2\backslash \{0\}$: $(x,y)\sim \frac{(x,y)}{y}=(\frac{x}{y},1)=(z,1)$ oder $(x,0)$. Zieht man eine Gerade durch alle $(z,1)$ lassen sich alle Elemente durch Punkte der oberen Halbkugel identifizieren. Die Halbkugel berührt die waagrechte Ebene (bei der alle Punkte auf einen Einzigen Punkt projeziert werden). Durch zusammenziehen des Einheitskreises auf der wird der Halbkreis zu einer topologischen $2$-Sphäre.

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