Zyklische Gruppe

Beschreibung

Die n-te Zyklische Gruppe ist die Menge aller Kongruenzrotationen eines regelmäßigen n-Ecks.

Sie wird manchmal mit $C_n$ und manchmal mit ${\mathbb{Z}}_n$ beschrieben.

Sie Elelemte der zyklischen Gruppe werden durch Potenzen von $a$ geschrieben: $C_n=\{e,a,...,a^n\}$¹

Definition

Definition Gerkmann

Wird eine Gruppe von einem Element erzeugt, wird sie Zyklisch genannt.

Eine endliche zyklische Gruppe besteht aus den Elementen $e_G,g,g^2,...,g^{n-1}$

Unendliche zyklische Gruppe

Siehe Unendliche Zyklische Gruppe

Endliche zyklische Gruppe

Siehe Endliche Zyklische Gruppe

Eigenschaften

Inverse

Für ein Element $a^k$ ist das Inverse $(a^k{)}^{-1}=a^{n-k}$

Untergruppe

Jede Untergruppe einer Zyklischen Gruppe ist zyklisch.

Genauer: Hat die zyklische Gruppe $G$ eine Ordnung von $n$, dann ist jede Untergruppe entweder $\{e\}$ oder hat die Ordnung $m$, wobei $m$ ein Teiler von $n$ ist.²

Homomorphismen

Sei $G$ eine zyklische Gruppe, $g\in G$ ein erzeugendes Element, $H$ eine weitere Gruppe und $h\in H$ Ist $ord(g)=\infty$ oder $ord(g)$ endlich und ein Vielfaches von $ord(h)$, dann existiert ein (eideutig bestimmter) Gruppenhomomorphismus $\varphi :G\to H$ mit $\varphi (g)=h$

Das heißt, dass ein Gruppenhomomorphismus eine zyklische Gruppe mit Ordnung $n$ immer auf eine andere zyklische Gruppe mit der Ordnung eines Teilers von $n$ abbildet. Ist $G$ aber unendlich groß, dann kann ich $G$ auf jede andere Zyklische Gruppe abbilden. Entweder eine unendliche oder eine unendliche, wobei man G dann bildlich um die Uhr von $H$ wickelt³

Kommutativität

Jede Zyklische Gruppe ist auch eine Abelsche Gruppe

lit_carterVisualGroupTheory2021

Footnotes

1. Carter - Aufgabe 4.25 ↩

2. Gerkmann - Satz 3.5 ↩

3. Gerkmann - Proposition 3.11 ↩