Endliche Zyklische Gruppe

Beschreibung

Eine endliche Zyklische Gruppe

Eigenschaften

Untergruppen

Sei $G$ eine endliche zyklische Gruppe $g\in G$ mit $G=⟨g⟩$ und mit $ord(G)=n$ Die verschiedenen Untergruppen sind gegeben durch $U_d=⟨g^m⟩$ wobei $d$ die Teiler von $n$ durchläuft. Dabei gilt jeweils $|U_d|=\frac{n}{d}$

Es gilt $U_m\subset U_{m^{\prime }}$ genau dann, wenn $m$ ein Teiler von $m^{\prime }$ ist.

Isomorphie

Je zwei endliche Zyklische Gruppen gleicher Ordnung sind zueinander isomorph¹

Ordnung einer zyklischen Teilgruppe

Sei $G$ eine Gruppe und $g\in G$ ein Element der endlichen Ordnung (Gruppe) $n$

1. Für beliebiges $m\in \mathbb{Z}$ gilt $ord(g^m)=n$ genau dann, wenn $ggT(m,n)=1$ ist.
2. Ist $d\in \mathbb{N}$ ein Teiler von $n$, dann gilt $ord(g^m)=\frac{n}{d}$
3. Für beliebiges $m\in \mathbb{Z}$ gilt $ord(g^m)=\frac{n}{d}$ mit $d=ggT(m,n)$

Das kommt daher, dass $⟨g^m⟩$ eine Zyklische Gruppe, also die Rotation eines regelmäßigen n-Ecks mit den Rotationswinkeln $\frac{m}{n}$ ist. Wenn $m=2,n=6$, dann muss man offensichtlich $g^m$ 3-mal anwenden (rotieren), um $e$ zu erhalten. Die Ordnung ist damit 3.

Hat man ein Achteck, dass man mit $\frac{6}{8}$ Umdrehungen rotieren will, dann ist jede Rotation gleich einer $\frac{3}{4}$ Rotation. Offensichtlich erhält man mit 4 Rotationen alle Elemente der Gruppe.

Aus diesem Grund braucht man im allgemeinen Fall eine $ggT(m,n)$-fache Anwendung, um $e$ zu erhalten

Beweis: zu 3.) Seien $m^{\prime },n^{\prime }$ sodass $m=m^{\prime }d$ und $n=n^{\prime }d$. Zu zeigen ist $ord(g^m)=n^{\prime }$. Da $d$ ein Teiler von $n$ ist gilt $ord(g^d)=\frac{n}{d}=n^{\prime }$. Ferner sind $m^{\prime }$ und $n^{\prime }$ teilerfremd. Damit lässt sich 1.) auf $g^d$ anwenden. $⟹(g^d{)}^{m^{\prime }}=n^{\prime }⟹n^{\prime }=g^{d{m}^{\prime }}=g^m$

Übungen

Klausur 2018 Aufgabe 2

a)

• $4$ ist ein Teiler von $20$ mit $20/4=5$ und damit hat die erzeugte Untergruppe von $g^4$ nach Vorlesung die Ordnung $5$.
• $7$ und $20$ ins Teilerfremd, also hat die von $g^7$ erzeugte Untergruppe die Ordnung $20$
• Nach Volesung gilt die Formel: $ord(g^{14})=\frac{20}{ggT(14,20)}=10$.

b)

Die Anzahl der Elemente von Ordnung $5$ in einer Zyklischen Gruppe errechnet sich mit der Eulerschen Phi Funktion: $\phi (5)=4$

Footnotes

1. Gerkmann - Folgerung 3.12 ↩