Kommutativer Ring

Beschreibung

Ein Kommutativer Ring ist eine mathematische Struktur, die ein Addieren und Multiplizieren von Elementen erlaubt. Es ist ein wichtiges Objekt der Zahlentheorie. Es entsteht aus einem Ring, indem man zusätzlich die Kommutativität der Multiplikation fordert.

Definition

Ein Ring ist ein Tripel $(R,+,\cdot )$ bestehend aus einer Menge $R$ und zwei Verknüpfungen $+:R\times R\to R$ und $\cdot :R\times R\to R$, genannt Addition und Multiplikation, so dass die folgenden Bedingungen erfüült sind:

1. Das Paar $(R,+)$ ist eine abelsche Gruppe
2. Das Paar $(R,\cdot )$ ist ein kommutatives Monoid
3. Es gilt das Distributivgesetz $a(b+c)=ab+ac$

Ist die Kommutativität nicht notwendig sagt man (nicktkommutativer) Ring.

Nullelement

Das neutrale Element der Additionsverknüpfung wird Nullelement genannt.

Einselement

Das neutrale Element

Eigenschaften

Notation

Ist $\mathbb{R}$ ein Ring, $r\in \mathbb{R}$ und $n\in \mathbb{Z}$, dann bezeichnet $n\cdot r$ die n-te Potenz in $(\mathbb{Z},+)$

Bsp.: $3r=r+r+r$

Startring

Für jeden Ring $R$ existiert ein eindeutig bestimmter Homomorphismus $\mathbb{Z}\to R$ von Ringen¹

Beispiele

Nullring

Das Tripel $(\{0\},+,\cdot )$

Übungen

Zahlentheorie Klausur 2019 Aufgabe 1

a)

• $0=(0,0,0)$
• $1=(1,1,1)$
• $\{(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)\}$

b)

Es ist kein Integritätsbereich, denn $(1,0,0)=(0,1,1)=(0,0,0)$ also ist $0$ nicht der einzige Nullteiler.

c)

$char(R)=0$

Zth Klausur 2018 Aufgabe 1

a)

$R$ ist kein Integritätsbereich, da es die beiden Nullteiler $(1,0),(0,1)$ besitzt und damit auch kein Körper.

b)

$(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)$

c)

$((0,1))$

d)

• Ringhomomorphismus $\varphi ((1,1))=(1,1)$ $\varphi ((a,b)+(c,d))=\varphi ((a+c,b+d))=(b+d,a+c)=(b,a)+(d,c)=\varphi (a,b)+\varphi (c,d)$ $\varphi ((a,b)(c,d))=\varphi (ac,bd)=(bd,ac)=(b,a)(d,c)=\varphi (a,b)\varphi (c,d)$
• Bijektivität $\varphi (R)=R$ und $R$ endlich, d.h. $\varphi$ bijektiv Alternativ über Umkehrfunktion

Footnotes

1. Gerkmann 2.3 ↩