Quasi-Isometriegruppe

Beschreibung

Die Quasi-Isometriegruppe ist eine schwächere Form der Isometriegruppe (Mannigfaltigkeit). Sie entsteht indem man die Gruppe der Quasi-Isometrien eines metrischen Raumes betrachtet.

Definition

Sei $(X,d)$ ein metrischer Raum. Definiere eine Äquivalenzrelation $\sim$ auf allen Quasi-Isometrien $X\to X$: $f\sim g⟺{\sup }_{x\in X}d(f(x),g(x))\text{ ist endlich}$ Zwei Quasi-Isometrien sind also gleich, wenn sie sich von Weitem betrachtet ähnlich verhalten.

Die Menge der Äquivalenzklassen $[f{]}_{\sim }$ bilden eine Gruppe unter der Operation der Komposition. WIr nennen diese Gruppe die Quasi-Isometriegruppe und bezeichnen sie mit $\mathcal{Q}\mathcal{I}(X)$

Beweis Abgeschlossenheit der Gruppe Zu zeigen ist, dass für beliebige $f^{\prime }\in [f]$ und $g^{\prime }\in [g]$ gilt $f^{\prime }\circ g^{\prime }[f\circ g]$. Wegen der Relation haben für alle $x\in X$ die Punkte $f^{\prime }(x),f(x)$ beschränkten Abstand. Wegen der Relation haben die Punkte $gf(x),g^{\prime }f(x)$ sowie $g{f}^{\prime }(x),g^{\prime }{f}^{\prime }(x)$ beschränkten Abstand. Da $g$ eine Quasi-Isometrie ist, haben $gf(x),g{f}^{\prime }(x)$ beschränkten Abstand (bzw. der Abstand steigt höchstens linear mit dem Abstand zwischen $f^{\prime }(x),f(x)$ aber da dieser ja beschränkt ist, ist auch dieser beschränkt). Damit haben $gf(x)$ und $g^{\prime }{f}^{\prime }(x)$ beschränkten Abstand.

Die restlichen Gruppeneigenschaften sind einfach zu zeigen.

Eigenschaften

Kriterium für Isomorphie der Gruppen

Seien $X$ und $Y$ metrische Räume. Gibt es eine Quasi-Isometrie $g:X\to Y$, dann gilt $\mathcal{Q}\mathcal{I}(X)\cong \mathcal{Q}\mathcal{I}(Y)$

Beweis: Sei $\mathcal{Q}\mathcal{I}(X)$ die Menge der Äquivalenzklassen der Menge $F$ der Quasi-Isometrien des Raumes $X$. Nach der Argumentation des oberen Beweises gilt $g([f])\subseteq [g\circ f]$. Durch Umkehrung von $g$ und der gleichen Argumentation erhalten wir eine Bijektion zwischen $\mathcal{Q}\mathcal{I}(X)$ und $\mathcal{Q}\mathcal{I}(Y)$.

Unter der Annahme, dass $g$ ein Gruppenhomomorphismus gilt sie die beiden Gruppen damit isomorph.