Pol

Definition

Eine Isolierte Singularität $a$ heißt ein Pol der Ordnung $N$ von der analytischen Funktion $f$, wenn der Hauptteil von $f$ in $a$ ein Polynom (Komplexe Analysis) in der Variablen $\frac{1}{z-a}$ vom Grad $N\ge 1$ ist. Die Bezeichnung kommt offensichtlich davon, dass man $a$ einen Pol n-ten Grades der Funktion $\frac{1}{(z-a{)}^n}$ nennt.

Eigenschaften

Charakterisierung Pol

Sei

• $U\subset U,a\in U$
• $f:U\backslash \{a\}\mathbb{C}$ analytisch.

$a$ ist genau dann ein Pol, wenn $\underset{z\in U}{\underset{z\to a}{\lim }}|f(z)|=\infty$ für alle Folgen die gegen $a$ gehen

Charakterisisrung Pol m-ter Ordnung

Sei

• $U\subset U,a\in U$
• $f:U\backslash \{a\}\to \mathbb{C}$ analytisch.

$a$ ist genau dann ein Pol m-ter Ordnung, wenn

• Es gibt eine analytische Funktion $g:U\to \mathbb{C}$ mit $g(a)\ne 0$, sodass $f(z)=(z-a{)}^{-m}g(z)$ für alle $z\in U\backslash \{a\}$ erfüllt ist. Diese Äquivalenz ist ziemlich offensichtlich, wie mir gerade auffällt. Der Hauptteil von $f$ ist endlich lang, daher müsste man einfach das $\frac{1}{z-a}$ ausklammern können.[^1] ODER
• Es gibt eine Umgebung $V\subseteq U$ von $a$ und $c,C\in ]0,\infty [$, sodass $c|z-a{|}^{-m}\le |f(z)|\le C|z-a{|}^{-m}$ für alle $z\in U\backslash \{a\}$ erfüllt ist. Das erinnert mich sehr an die Abschätzung eines Polynoms ODER
• Für $k\in \{0,1,...,m-1\}$ ist $\underset{z\in U\backslash \{a\}}{\underset{z\to a}{|(z-a{)}^{k}f(z)|}}=\infty$ und $\underset{z\in U\backslash \{a\}}{\underset{z\to a}{|(z-a{)}^{m}f(z)|}}\in \mathbb{C}$ existert
• Die Ordnung (Analysis) von $f$ ist $-m$: $\omega (f,a)=-m$ ¹

Charakterisierung Pol erster Ordnung

Sei

• $U\subseteq \mathbb{C}$ offen
• $g:U\to \mathbb{C}$, $h:U\to \mathbb{C}$
• $a\in U$

mit

• $h(a)=0$
• $g(a)\ne 0$
• $h(z)\ne 0$ für $z\in U\backslash \{a\}$
• $h^{\prime }(a)\ne 0$

Dann ist $a$ ein Pol 1.Ordnung von $\frac{g(z)}{h(z)}$ und $Res(\frac{g}{h},a)=\frac{g(a)}{h^{\prime }(a)}$

]: Zenk - Satz 23.1.10

Footnotes

1. Zenk - Lemma 23.1.15 ↩