Chordale Metrik

Beschreibung

Auf der Riemannsche Zahlensphäre kann man eine Metrik auf $\hat{\mathbb{C}}$ definieren:

Definition

$d:\begin{array}{rcl}\hat{\mathbb{C}}\times \hat{\mathbb{C}}& \to & [0,\infty [\\ (w,z)& \mapsto & ||Q(w)-Q(z)|{|}_2\end{array}$ wobei $Q$ die Umkehrabbildung der Stereographische Projektion ist.

Verkürzt: Für $w,z\in \hat{\mathbb{C}}$ gilt: $d(z,w)=\{\begin{array}{ll}\frac{2|w-z|}{\sqrt{(1+|w{|}^2)(1+|z{|}^2)}}& \text{fu¨r }w,z\in \mathbb{C}\\ \frac{2}{\sqrt{1+|z{|}^2}}& \text{fu¨r }z\in \mathbb{C},w=\infty \end{array}$

Eigenschaften

Kehrbrucheigenschaft

Für $w,z\in \mathbb{C}\backslash \{0\}$ gilt $d(w,z)=d(\frac{1}{w},\frac{1}{z})$ und $d(0,z)=d(\frac{1}{z},\infty )$

Zentrum unendlich

1. Ist $r>0$, so hat $K_{\hat{\mathbb{C}}}(\infty ,r)$ die Form $K_{\hat{\mathbb{C}}}(\infty ,r)=\hat{\mathbb{C}}\backslash K_r$, wobei $K_r\subset \mathbb{C}$ eine bestimmte kompakte Menge ist.
2. Ist $K\subseteq \mathbb{C}$ kompakt, so gibt es ein $R>0$, sodass $K_{\hat{\mathbb{C}}}(\infty ,r)\subseteq \hat{\mathbb{C}}\backslash K$ ist