Quotientenkriterium

Beschreibung

Das Quotientenkriterium ist ein Kriterium, mit dem man den Konvergenzradius einer Reihe berechnen kann.

Definition

Allgemeine Definition

Sei eine Reihe $S={\sum }_{n\in \mathbb{N}}{a}_n$.

Gilt $\lim \underset{k\to \infty }{\sup }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|<1$ dann konvergiert die Reihe.

Gilt $\lim \underset{k\to \infty }{\inf }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|>1$ dann divergiert die Reihe.

Gilt keine der oberen Bedingungen, lässt sich keine Aussage treffen.

Potenzreihen

Potenzreihen haben die Form $S={\sum }_{n\in \mathbb{N}}{a}_n{z}^n$. Anwenden der obere Formel für zu:

Gilt $\lim \underset{k\to \infty }{\sup }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right||z|<1$ dann konvergiert die Reihe.

Daraus ergibt sich ein Konvergenzradius: $r=\frac{1}{\lim \underset{k\to \infty }{\sup }\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}$