Charakteristisches Polynom (DGL)

Beschreibung

Aus dem charakteristischen Polynom lässt sich der Lösungsraum einer homogenen skalaren linearen DGL höherer Ordnung mit konstanten und reellen Skalaren errechnen.

Definition

Betrachte das DGL x^{(k)}(t) + a_kx^{(k-1)} ... a_2x' + a_1x = 0 \tag{1}

Dann ist das charakteristische Polynom der DGL:

$p(z):=z^k+a_{k-1}{z}^{k-1}+...+a_{1}z+a_0$

Verwendung

Mit dem charakteristischen Polynom lässt sich der Lösungsraum von $(1)$ aus den Nullstellen bestimmen.

Ist $\rho \in \mathbb{R}$ eine m-Fache Nullstelle von p, so sind die m Funktionen $e^{\rho t},t{e}^{\rho t},...,t^{m-1}{e}^{\rho t}$ linear unabhängige Lösungen von $(1)$.

Ist $\rho +i\sigma \in \mathbb{C}\backslash \mathbb{R}$ eine m-Fache Nullstelle von p, ist ist auch $\rho -i\sigma$ eine m-fache Nullstelle. In dem Fall sind die 2m Funktionen $e^{\rho t}cos(\sigma t),t{e}^{\rho t}cos(\sigma t),...,t^{m-1}{e}^{\rho t}cos(\sigma t)$ und $e^{\rho t}sin(\sigma t),t{e}^{\rho t}sin(\sigma t),...,t^{m-1}{e}^{\rho t}sin(\sigma t)$ linear unabhängige Lösungen von $(1)$.