Elliptische Möbiustransformation

Beschreibung

Eine Elliptische Möbiustransformation ist eine Möbiustransformation mit einem speziellem Verhalten. Sie bekommt ihren Namen dadurch, dass die entsprechenden Matrizen auf ${\mathbb{R}}^2$ Ellipsen fix lassen.

Definition

Sei Möbiustransformation $M(z)=\frac{az+b}{cz+d}$ Gilt $(a+d)$ ist reell und $(a+d{)}^2<\pm 2$, dann ist die Transformation elliptisch.

Charakterisierung durch Fixpunkte

Eine Normalisierte Möbiustransformation ist elliptische genau dann, wenn sie zwei Fixpunkte hat. Die Transformation in einer infinitessimalen Umgebung der Fixpunkte gleicht einer Rotation.

Charakterisierung durch Konjugation

Eine Matrix ist elliptisch g.d.w. sie in $SL(2,\mathbb{R})$ konjugiert zu $\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$ ist.

lit_katokFuchsianGroups1992