Hamiltonfunktion

Beschreibung

Bei einer Erhaltungsgröße ist die Richtung der größten Steigung von $E$ senkrecht zur Phasengeschwindigkeit einer Autonome Lipschitzst. DGL.

Will man also eine Erhaltungsgröße erzeugen, dann kann man die Phasengeschwindigkeit an jeder Stelle um 90 Grad drehen. Mit einem Gleichungssystem findet man dann die Funktion, dessen Steigung genau die um 90 Grad gedrehte Phasengeschwindigkeit ist.

Diese Funktion Gleichungen ist die Hamiltonfunktion. Jede Hamiltungfunktion ist eine Erhaltungsgröße.

Definition

Seien

• $D\subseteq {\mathbb{K}}^{2}n$ ein offener und zusammenhängender Raum von Zuständen mit gerader Dimension.
• $H\in C^2(D,\mathbb{R})$

Schreibe Punkte/Zustände aus $D$ in der Form $(p,q)=(p_1,...p_n,q_1,...,q_n)=(x_1,...,x_{2n})$

\begin{align} q_j' &= \frac{\partial H}{\partial p_j} \\ p_j' &= -\frac{\partial H}{\partial q_j} \end{align} heißt System der kanonischen Hamiltongleichungen, H heißt Hamiltonfunktion