Satz von Rouché

Beschreibung

Der Satz von Rouché gibt Voraussetzungen, wann zwei analytischer Funktionen $f$ und $f+g$ im Inneren eines Weges gleichviele Nullstellen Nullstellen haben.

Definition

Sei

• $\varnothing \ne \subseteq \mathbb{C}$ offen
• $f:U\to \mathbb{C}$ und $g:U\to \mathbb{C}$ analytisch
• $\gamma :[0,1]\to U$ nullhomolog mit $|g(z)|<|f(z)|$ für alle $z\in Spur(\gamma )$

Dann haben $f$ und $f+g$ auf $Spur(\gamma )$ keine Nullstellen und es gilt $\sum _{a\in \{z\in U:f(z)=0\}}n(\gamma ,a)\omega (f,a)=\sum _{a\in \{z\in U:(f+g)(z)=0\}}n(\gamma ,a)\omega (f+g,a)$

Ist die Umlaufzahl $n(\gamma ,\xi )=1$ für alle $\xi$ im Inneren on $\gamma$, so haben $f$ und $f+g$ gleichviele Nullstellen um Inneren von $\gamma$ - gezählt mit Vielfachheiten.

Beweis

Man stelle sich vor man geht mit einem Hund spazieren. Man begegnet einem Baum, hält die Leine aber so kurz, dass der Hund den Baum nie erreichen kann. Dann kann der Hund den Baum nur umrunden, wenn man selbst den Baum umrundet.

Genauso verhält sich der Satz von Rouche. Sei der Baum der Ursprung von $\mathbb{C}$ und der Spaziergang dein Bildweg bezüglich $f(z)$, wobei $z$ eine einfache geschlossene Kurve $\Gamma$ durchläuft. Die komplexe Zahl von mir zum Hund ich $g(z)$ und die Position des Hundes ist damit $f(z)+g(z)$.

Die Forderung, dass die Leine nicht zum Baum reicht ist $|g(z)|<|f(z)|$ auf $\Gamma$ Nach oberer Schlussfolgerung hat der Hund $f(z)+g(z)$ die gleiche Umlaufszahl um $0$ wie du $f(z)$.

Nach dem Argumentprinzip muss somit die Anzahl an Nullstellen von $f(z)$ und $g(z)+f(z)$ in $\Gamma$ gleich sein.