De Rham Kohomologiegruppe

Beschreibung

Die $k$-te De Rahm Kohomologiegruppe wird genutzt, um Löcher in Mannigfaltigkeiten zu finden. Sie beschreibt, wie sehr der Hauptsatz der Differential und Integralrechnung auf Glatte Mannigfaltigkeit.

Definition

Die $k$-te De Rahm Kohomologe Gruppe ist der Quotient $H_{dR}^k(M)=\ker (d:{\Omega }^k(M)\to {\Omega }^{k+1})/im(d:{\Omega }^{k-1}(M)\to {\Omega }^k(M))$

Die Gruppe besteht aus allen Differentialform (Mannigfaltigkeit), die zu Null ableiten, geteilt durch alle $k$-Differentialformen, die Differentialform einer $k-1$-Form sind. Das $im$ ist die Menge der $k$-ten exakten Formen. $\ker$ gibt die Menge der Geschlossene Differentialform an. Sind die beiden Mengen gleich, ist die resultierende Gruppe trivial

Eigenschaften

Vektorraum

Die De Rahm Kohomologiegruppe ist ein Vektorraum.

Lineare Abbildung

Lineare Abbildungen zwischen De Rahm Kohomologiengruppen werden durch glatte Mannigfaltigkeitenabbildungen induziert.

Für eine glatte Abbildung $\varphi :N\to M$ erhalten wir die Lineare Abbildung ${\varphi }^{\ast }:H_{dR}^k(N)\to H_{dR}^k(M)$

Durch Pullback induzierte Isomorphie

Sei $f:M\to N$ ein Glatter Diffeomorphismus (Glatte Mannigfaltigkeit). Wir erhalten dann $H(M)\cong H(N)$. Durch den Pullback von Formen erhalten wir außerdem die Isomorphie $H^{\ast }(M)\cong H^{\ast }(N)$

De Rham Kohomologiegruppen sind also Invarianten eines Diffeomorphismus.

Bekannte Kohomologiegruppen

Kohomologiegruppe von hoher Dimension

Gilt $k>\dim (M)$ so gilt $H_{dR}^k$

Kohomologiegruppe von Dimension $0$

Hat $M$ $k$ Zusammenhangskomponenten, dann ist $H_{dR}^0(M)={\mathbb{R}}^k$

Kohomologiegruppe von Dimension $1$

Das ist einfach die Fundamentalgruppe.

Kohomologiegruppe vom maximaler Dimension

Was ist die Kohomologiegruppe $H_{dR}^{\dim (M)}$?

Kohomologiegruppe von mehr als maximaler Dimension

Wenn $k>\dim (M)$, dann gilt $H^k(M)=0$

Beispiele

Kohomologiegruppe von durchstochener Menge

Sei $U\subseteq {\mathbb{R}}^n$. Dann gilt $H^{n-1}(U\backslash \{p\})\ne 0$

Kohomologiegruppe des Balls und der Kugel (Poincaré Lemma)

Jede Geschlossene Differentialform auf dem Einheitsball $D^n$ ist exakt. Bei Kugel gilt das nicht für Formen des Grades $\ge 1$.

Dieses Ergebnis ist wichtig genug, dass es einen eigenen Artikel bekommt: Poincaré-Lemma

Weblinks

• https://www.youtube.com/watch?v=2ptFnIj71SM&t=499s