Adjungierte Darstellung

Beschreibung

Die Adjungierte Darstellung verschiebt das neutrale Element einer Lie Gruppe auf ein anderes Element der Gruppe.

Definition

Sei $c_g(x)=gx{g}^{-1}$ die Konjugationsabbildung. Wir definieren die Adjungierte Darstellung als die Abbildung $Ad:G\to Aut(\underline{G}),h\mapsto (R_{h^{-1}}{)}_{\ast }$

$Aut(\underline{G})$ steht für die Menge aller Abbildungen, die ein Linksinvariantes Vektorfeld (Lie-Algebra) invertierbar in ein anderes linksinvariantes Vektorfeld umwandeln. Die Abbildung nimmt ein Linksinvariantes Feld entgegen und holt zieht die Vektorfeld-Umgebung um $h$ auf eine Umgebung um $e$.

Eigenschaften

Bezug zum Exponential

Für $h\in G$ und $X\in \underline{G}$ gilt: $Ad(h)(p)=\left(\frac{d}{dt}\right)(p\cdot h\exp (tX)h^{-1}){|}_{t=0}=\left(\frac{d}{dt}\right)(R_{h^{-1}}\circ {\theta }_t\circ R_h(p)){|}_{t=0}$

Dies gibt uns eine weitere Definition der Adjungierten Darstellung. Die Adjungierte Darstellung ist nämlich der infinitesimale Erzeuger der Einparametrige Gruppe $t\mapsto h\exp (tX)h^{-1}$.

Beispiel

Adjungierte Darstellung von $G{L}_n(\mathbb{R})$

Die Adjungierte Darstellung von $G{L}_n(\mathbb{R})$ ist die Konjugation $Adh(X)=hX{h}^{-1}$

Induziert Lie-Algebra-Morphismus

Für $X,Y\in \underline{G}$ gilt $\text{klam}\frac{d}{dt}(Ad(\exp (tY))X){|}_{t=0}=[X,Y]$

Ist also $f:G\to H$ ein Gruppenhomomorphismus, dann ist $d_{e}f$ ein Lie-Algebra-Homomorphismus, gegeben durch: $d_{e}f[X,Y]=[d_{e}fX,d_{e}fY]$

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