Isometriegruppe (Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Dieser Artikel verallgemeinert die Isometriegruppe auf Glatte Mannigfaltigkeit

Definition

Die Isometriegruppe $Isom(M,g)$ ist die Gruppe aller Isometrien von $(M,g)$ auf sich selbst.

Eigenschaften

Lie Gruppe

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann ist die Isometriegruppe $Isom(M)$ eine natürliche Lie Gruppe. Insbesondere ist folgende Abbildung glatt: $Isom(M)\times M\to M,(\varphi ,p)\mapsto \varphi (p)$

Ist $(M,g)$ sogar symmetrisch und $p_0$ ein beliebiger Punkt, dann gibt es eine transitive Gruppenwirkung $G=Iso{m}_0(M)\circlearrowleft M$. Für $K_{p_0}=\{\varphi \in Iso{m}_0(M),\varphi (p_0)=p_0\}$ ist $G/K_{p_0}\to M,[\varphi ]\mapsto \varphi (p_0)$.