Moment

Beschreibung

Das Moment ist eine Verallgemeinerung des Erwartungswert und im weitesten Sinne der Varianz

Definition

Definition nach Hamming

Das $k$-te Moment einer Zufallsvariable $X$ ist definiert durch: $m_k:=E(X^k)=\sum x_i^{k}p(i)$ wobei $E$ der Erwartungswert ist.

Definition nach Deckert

Sei $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ dann definieren für für eine Zufallsvariable $X:(\Omega ,\mathcal{A})\to (\bar{\mathbb{R}},B_{\bar{\mathbb{R}}})$ $E_p{X}^n:={\int }_{\Omega }{X}^{n}dP={\int }_{\Omega }X(\omega {)}^{n}dP(\omega )$ falls $|X{|}^p$ integrierbar, schreiben dann $X\in L^n(\Omega ,\mathcal{A},P)$ (vgl. Lebesgue-Raum) und sagen $X$ besitzt das $n$-te Moment $E_p{X}^n$.

Eigenschaften

Erzeugende Funktion

Siehe Momenterzeugende Funktion

Tschebyscheff Ungleichung

Für $X$ Vergröberung auf $(\Omega ,\mathcal{A},P),a\in \mathbb{R},s\ge 0$ gilt:

1. $E_P{e}^{sX}\ge e^{sa}P(X\ge a)$
2. $P(X\ge a)\le {\inf }_{s\ge 0}{e}^{-sa}{E}_P{s}^{sX}$

Cauchy-Schwarz

Für $X,Y\in {\mathcal{L}}^2$ gilt $(E_{p}XY{)}^2\le E_p{X}^2{E}_p^Y$

Cauchy-Schwarz für Wahrscheinlichkeitsverteilung

Aus der oberen Formel folgt für $X\in {\mathcal{L}}^1(\Omega ,\mathcal{A},P)$ einen Wahrscheinlichkeitsraum (d.h. Raum mit $P(\Omega )=1$): $(E_{p}X{)}^2\le E_p{X}^2$

Beispiele

Erwartungswert

Setzt man $p=1$ erhält man einfach den Erwartungswert.

lit_hammingArtProbability2018