Ordnung (Gruppe)

Definition

Definition Ordnung einer Gruppe

Sei $G$ eine Gruppe. Die Anzahl der Elemente $|G|$ von $G$ wird die Ordnung von $G$ genannt

Definition Ordnung eines Elements

Sei $G\in G$ ein Element einer Gruppe. Dann bezeichnen wird $ord(g)=|⟨g⟩|$ als die Ordnung von $g$.

Charakterisierungen

Zyklische Charaktierisierung

Bildlich ist das die kleinste Anzahl, wie oft man $g$ potenzieren muss, sodass wieder sich selbst ergibt: $g^{ord(g)}=e_G$

Offensichtlich erfüllt jedes Vielfache von $ord(g)$ die gleiche Gleichung.

Folgerung

Ist $G$ eine zyklische Gruppe der Ordnung $n$, dann gibt es genau $\phi (n)$ Elemente $h\in G$ mit $G=⟨h⟩$

$\phi$ ist die Eulersche Phi Funktion.

Reduzierte Definition

Sei $G$ eine Gruppe und $n\in \mathbb{N}$. Ein Element $g\in G$ hat genau dann die Ordnung $n$, wenn $g^n=e_G$ und für jeden Primteiler $p$ von $n$ jeweils $g^{n/p}\ne e_G$ gilt.¹

Eigenschaften

Endliche Zyklische Gruppe

Bei endlichen Zyklischen Gruppen, hat die Ordnung eine Menge interessanter Eigenschaften. Siehe dazu Endliche Zyklische Gruppe

Übungen

Klausur 2016 Aufgabe 2

b)

Darauf folgt $g^n=e$. Es gilt $(g^{-1}{)}^n=(g^n{)}^{-1}=e$ aber nicht für kleinere $n$.

c)

Die Ordnung ist der ggT der Zykellängen der disjunkten Zykel also 6. ${\sigma }^{61}={\sigma }^1⟹$ Ordnung 6.

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 3.8 ↩