p-Sylowgruppe

Beschreibung

Teile die Ordnung einer Gruppe $|G|$ in teilerfremde Primzahlpotenzen auf (die Exponenten sind dann maximal). Eine p-Untergruppe mit der Ordnung einer solchen Primzahlprtenz wird p-Sylowgruppe genannt.¹

Eigenschaften

Normalteiler

Aus den Sylowsätze folgt: Eine $p$-Sylowgruppe ist genau dann ein Normalteiler von $G$, wenn die Anzahl ${\nu }_p$ der $p$-Sylowgruppen von $G$ gleich $1$ ist.

Sylowsätze

Siehe Sylowsätze

Übungen

Klausur 2016 Aufgabe 4

a)

Für die Anzahl der Sylowgruppen ${\nu }_3$ gilt ${\nu }_3\mid 17$ und ${\nu }_3{\equiv }_3=1⟹{\nu }_3=1$. Für ${\nu }_{17}$ gilt ${\nu }_{17}\mid 9⟹{\nu }_3\in \{1,3,9\}$ und ${\nu }_{17}{\equiv }_{17}1⟹{\nu }_{17}=1$.

b)

Das Komplexprodukt $UV$ ist Untergruppe von $G$. Da $U$ und $V$ die einzigen Sylowgruppen sind, sind sie Normalteiler. Desweiteren schneiden sie sich nur in $e$, denn alle Elemente vo $V$ außer $e$ haben Ordnung $17$, $U$ kann aber keine Elemente von Ordnung $17$ haben, da daraus folgen würde $17\mid 9$. Nach Vorlesung ist $UV$ damit isomorph zum Produkt $U\times V$ und hat $|UV|=|U\times V|=|U|\cdot |V|=9\cdot 17=|G|$ Elemente. Daher muss $UV=G$ sein.

c)

Das direkte Produkt zweier abelscher Gruppen ist abelsch. $U$ ist als Gruppe von Ordnung $3^2$ (3 Primzahl) nach VL abelsch und $U$ hat Primzahlordnung, d.h. ist zyklisch und abelsch.

Footnotes

1. Gerkmann - Definition 10.3 ↩