Raum der messbaren Laminierungen

Beschreibung

Die Menge aller Messbare Laminierung meiner einer Äquivalenzrelation definert den Raum der messbaren, geodätischen Laminierungen.

Definition

Sei $S$ eine Hyperbolische Fläche. Der Raum der messbaren geodätischen Laminierungen auf $S$ ist die Menge $\mathcal{MS}(S)$ von messbaren Geodätischen auf $S$, geteilt durch die Äquivalenzrelation $\sim$ gegeben durch

• $(L,\mu )\sim (L,{\mu }^{\prime })$ wenn $L=L^{\prime }$ und es gibt ein $c>0$, sodass ${\mu }^{\prime }=c\mu$

Eigenschaften

Satz: Bijektion um Raum der Blätterungen

Sei $S$ eine Hyperbolische Fläche. Es existiert eine Bijektion $\Phi :\mathcal{M}\mathcal{F}(S)\to \mathcal{ML}(S)$ sodass: Wenn $\varphi :S\to S$ ein Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus mit instabiler und stabiler messbaren Blätterungen $({\mathcal{F}}^u,{\mu }^u)$ und $({\mathcal{F}}^s,{\mu }_s)$ ist, dann sind die stabilen und instabilen Blätterungen von $\varphi$ gegeben durch: $({\mathcal{L}}^s,{\lambda }_s)=\Phi ({\mathcal{F}}^u,{\mu }^u),({\mathcal{L}}^u,{\lambda }_u)=\Phi ({\mathcal{F}}^s,{\mu }^s)$

Satz: Identifikation mit eigentlich gewichteten Pi1-Zugstrecke

Der Raum der messbaren Blätterungen kann identifiziert werden mit dem Raum der (reellwertigen) eigentlichen Gewichtungen von ${\pi }_1$-Zugstrecken. Analog kann der Raum der Raum der projektiven messbaren Laminierungen identifiziert werden mit dem Raum der projektiven eigentlichen Gewichtungen von ${\pi }_1$-Zugstrecken.

Bedeutet das nicht, dass ${\pi }_1$-Zugstrecken ein natürlicher Kandidat zum studieren von Laminierungen sind? Üblicherweise muss man nämlich immer mit Zugstreckenklassen äquivalenter Zugstrecken kämpfen. Wirft natürlich die Frage auf, wie sie mit Agol Zykel zusammenhängen.

lit_parkerMappingClassGroup2004