Stetig differenzierbare Kurve

Beschreibung

Das ist eine Kurve, deren Formel eine Stetig Differenzierbare Funktion ist.

Definition

Eigenschaften

Rektifizierbarkeit

Angenommen $\gamma :[a,b]\to \mathbb{R}$ stetig differenzierbar $⟹\gamma$ rektifizierbar

Beweis: Dann gilt $\forall t:\forall \epsilon :\exists \delta :|t-s|<\delta ,\Vert \gamma (t)-\gamma (s)-{\gamma }^{\prime }(t)(t-s)\Vert <\epsilon$

Da ${\gamma }^{\prime }$ stetig und $[a,b]$ kompakt ist, gilt dann auch $\forall \epsilon \exists \delta \forall t:|t-s|<\delta ...$ Umgekehrt für jedes $\epsilon$ (rece opadaja)

Konvergnz von Kurvenlängen

Sei ${\gamma }_n$ eine Folge von stetig differenzierbaren Kurven, welche gleichmäßig gegen eine stetig differenzierbare Kurve $\gamma$ konvergiert, sodass auch die Folge der Ableitungen ${\gamma }_n$ gleichmäßig gegen ${\gamma }^{\prime }$ konvergiert.

Dann gilt: ${\lim }_{n\to \infty }l({\gamma }_n)=l(\gamma )=l({\lim }_{n\to \infty }{\gamma }_n)$