Blockabbildung

Beschreibung

Die Blockabbildungen sind Abbildungen, die einen ganzen Block (d.h. ein Wort der Länge $l$) auf ein Zeichen abbilden. Dies erlaubt Abbildungen zwischen Untershift endlichen Typs zu definieren. Blockabbildungen erfüllen die Rolle von Morphismen in der Kategorie der Unterschifts endlichen Typs.

Einseitige Blockabbbildung

Seien $X_A,X_B$ zwei Untershift endlichen Typs. Eine Block-Abbildung ist gegeben durch eine Abbildung ${\phi }_0:\mathcal{W}(A,l)\to L_B$, die konsistent bezüglich $X_A$ und $X_B$ ist. Konsistent heißt, dass für ein Wort $[i_0,...,i_l]$ der Länge $l+1$ gilt: $[{\phi }_0([i_0,...,i_{l-1}]),{\phi }_0([i_1,...,i_l])]\in \mathcal{W}(B,2)$ Die Block-Abbildung $\phi :X_A\to X_B$ ist dann $(\phi (x){)}_i={\phi }_0([x_i,...,x_{i+l-1}])$

Obacht: Häufig wird sowohl ${\phi }_0$ als auch $\phi$ eine Blockabbildung genannt. $L_B$ ist übrigens das Alphabet.

Auf zweiseitigen Abbildungen ist es sinnvoll, zur Berechnung von $(\phi (x){)}_i$ auch vorherige Informationen zu nutzen. Daher wird die zweiseitige Blockabbildung anders definiert.

Zweiseitige Blockabbildung

Seien ${\Sigma }_A,{\Sigma }_B$ zwei Untershift endlichen Typs. Eine Block-Abbildung ist gegeben durch eine Abbildung ${\phi }_0:\mathcal{W}(A,l)\to L_B$, die konsistent bezüglich $X_A$ und $X_B$ ist und durch zwei Zahlen $m$ (memory) und $a$ (anticipation), sodass $m+a+1=l$. Die Block-Abbildung $\phi :{\Sigma }_A\to {\Sigma }_B$ ist dann $(\phi (x){)}_i={\phi }_0([x_{i-m},...,x_{i+a}])$

Charakterisierung

Sei $\phi$ eine stetige, mit dem Shift $\sigma$ kommutierende Abbildung zwischen zwei Untershift endlichen Typs. Dann ist $\phi$ eine Block-Abbildung.

lit_kitchensSymbolicDynamicsOnesided2012