Konverenz Nagase - Distinguishing surfae links described by 4-charts with 2 crossing and 8 black vertices

Abstract

Charts are oriented labeled graphs in a disk. Any simple surface braid (2-dimensional braid) can be described by using a chart. Also, a chart represents an oriented closed surface (called a surface-link) embedded in 4-space. A chart has three kinds of vertices of degree 1, 4, and 6 (called a black vertex, a crossing, and a white vertex, respectively). We already gave an enumeration of the charts with two crossings. In particular, there are two classes for 4-charts with 2 crossings and 8 black vertices. The first class represents surface-links each of which is connected. The second class represents surface-links each of which is exactly two connected components. In this talk, by using quandle colorings, we shall show that the charts in the second class represent different surface-links.

1. Quandle colourings

Ein Quandle sind binäre Operationen $a\ast b$, mit Axiomen, ähnlich denen einer Gruppe. https://en.wikipedia.org/wiki/Racks_and_quandles Die Axiome stehen in Analogie zu den Reidemeister Bewegung. Es gibt für $N\in \mathbb{N}$ natürliche Quandle.

Sei $L$ eine orientierte Verschlingung, $D$ ein Diagramm und $\mathcal{R}$ die Menge der Brücken. Sei $Q$ ein Quandle. Eine Abbildung $\mathcal{C}:\mathcal{R}\to Q$ eine Quadle Färbung, wenn an jeder Kreuzung die Überführung Wert $a$ hat, die Unterführung vor der Kreuzung $b$ und díe Unterführung nach der Kreuzung $a\ast b$.

Die Anzahl der Quandle-Färbungen für ein Quandle $Q_N$ ist eine Verschlingungsinvariante. Die Färbung ist auf Torusknoten gut erforscht.

2. Charts

Ein $n$chart ist ein orientierter Graph in $S^2$, sodass

1. Die Beschriftung jeder Kante ist $\{1,...,n-1\}$
2. Jeder Koten ist von der Form
   • Black Vertex: Kante endet in einem Knoten
   • Kreuzung: Zwei Kanten kreuzen sich
   • White Vertex: Drei Kanten kreuzen sich so, dass oben zwei Kanten von Wert $i$ einlaufen und einer von Wert $j$ Es gehen zwei Kanten von Wert $j$ aus und einer von $i$.

Definition

$\Gamma$ ist ein Ribbon chart, wenn $\Gamma$ $C$-Move-Äquivalent zu einem chart ohne weiße Knoten ist.

3. Hauptergebnis

Sei $\Gamma$ ein chart. Bezeichne mit $F(\Gamma )$ die Flächenverschlingung, die durch den Chart definiert ist. Sei $|{\text{Col}}_Q(F)|$ die Zahl der Quandle-Färbungen der Verschlingung.

Satz

Sind $N,k$ ganze Zahlen mit $N\ge 3,k\ge 1$. Seien $T_0,T_k{T}_k^{\ast }$ die $4$-charts wie oben. Dann haben wir das folgende

1. $|{\text{Col}}_{Q_N}(F(T_0))|=...$
2. $...$

4. n-Charts

5. Konstruktions einer Flächenverschlingung