Strecke

Beschreibung

Eine Strecke (auch Segment oder Geodätisches Segment) ist ein gerades Stück von endlicher Länge.

Definition

Das Segment zwischen zwei Punkten $p,q\in {\mathbb{R}}^2$ sind genau die Punkte $r\in {\mathbb{R}}^2$, sodass $d(p,r)+d(r,q)=d(p,q)$

Das ist eigentlich ein Korollar gewesen aber ich nehme das mal als Definition. Ich denke, Hensels eigentliche Definition ist, ein Segment ist ein zusammenhängendes Teilstück einer Gerade.

Definition durch Einbettung

Sei $f:[a,b]\to X$ eine Isometrische Einbettung. Dann ist $f([a,b])$ eine Strecke.

Charakterisierende Eigenschaften

Längenrealisierender Pfad

Ein Segment wir Längenrealisierender Pfad genannt, da ein Segment ein wohldefinierter Weg ist, von einem Punkt zu einem anderen zu kommen.

Es muss keine längenrealisierende Pfade geben. Betrachte den Abstand von Punkten auf einer Kreisscheibe, bei der der Ursprung herausgenommen wurde. Dann gibt es keine Stecke zwischen gegenüberliegenden Punkten.

Das ist erfüllt wenn für eine Kurve $\gamma :[a,b]\to X$ gilt $l(\gamma )=d(\gamma (a),\gamma (b))$ oder $l(\gamma {|}_{[s,t]})=d(\gamma (s,\gamma (t)))$ für alle $s,t\in [a,b],s<t$.

Beispiele

Segment auf einer Koordinatenachse

Das Segment $S=\{(x,0),x\in [a,b]\}$ zwischen $(a,0)$ und $(b,0)$ ist genau die Teilmenge der ersten Koordinantenachse aller Punkte mit der Eigenschaft: $d(p,(a,0))+d(p,(b,0))=b-a$

\newcommand{\R}{\mathbb R}