Globale Überschattung

Beschreibung

Eine Globale Schattierung definiert eine Äquivalenzrelation auf Orbits von zwei Homöomorphismen eines Metrischen Raumes.

Definition

Seien $f_1,f_2$ isotope Homöomorphismen von $M$ und $x,y\in M$. Seien ${\tilde{f}}_1,{\tilde{f}}_2,\tilde{x},\tilde{y}$ Hebungen in die Universelle Überlagerung, sodass die Projektion mit der Isotopie kommutiert. Wir sagen, dass der $f_1$-Orbit von $x$ den $f_2$-Orbit von $y$ global $\delta$-überschattet, wenn es ein $\delta >0$ gibt, sodass ${\sup }_{k\in \mathbb{Z}}\tilde{d}({\tilde{f}}_1^k(\tilde{x}),{\tilde{f}}_2^k(\tilde{y}))\le \delta$ Wir schreiben dann $(x,f_1){\sim }^{\delta }(y,f_2)$. Manchmal interessiert uns auch nur die Existenz eines $\delta$ und wir schreiben $(x,f_1)\sim (y,f_2)$

Eine etwas intuitivere Charakterisierung erhält man, wenn man die Länge einer Kurve zwischen den beiden Punkten betrachtet und wie die Isotopie zwischen den Abbildungen auf der Kurve wirkt.

Charakterisierung durch Kurvenlänge

Seien $f_1,f_2$ isotope Homöomorphismen von $M$ und $x,y\in M$ mit der Isotopie $h_t$. Seien ${\tilde{f}}_1,{\tilde{f}}_2,\tilde{x},\tilde{y}$ Hebungen in die Universelle Überlagerung, sodass die Projektion mit der Isotopie kommutiert. Bezeichne mit $L(\gamma )$ die Länge der kürzesten Kurve der Isotopieklasse von $\gamma$.

Der $f_1$-Orbit von $x$ ist eine Globale $\delta$-Überschattung des $f_2$-Orbit von $y$, genau dann wenn es eine verbindende Kurve $\gamma$ und ein $\delta >0$ gibt, sodass ${\sup }_{k\in \mathbb{Z}}L((h_t^k\circ \gamma )(t))\le \delta$

Eigenschaften

Erhalt durch Limit

Seien $x_n\to x,y_n\to y$ Folgen mit $(x_n,f)\sim (y_n,g)$. Dann gilt $(x,f)\sim (y,g)$.

Beispiele

Pseudo-Anosov Abbildung

Pseudo-Anosov-Abbildungen sind dadurch charakterisiert, dass Punkte schnell von einander divergieren. Daher gibt es keine zwei Punkte, die sich einander überschatten. $(x,\nu )\sim (y,\nu )⟹x=y$ Für geschlossene Flächen $M$. Um trotzdem auf pA-Abbildungen arbeiten zu können, wurde die Nielsen-Äquivalenz entwickelt.

Beweis: Angenommen, es gibt zwei Punkte, die sich überschatten. Verwende als Metrik die Singuläre Euklidische Metrik Betrachte erst nur den instabilen Teil. Da die pA-Abbildung $d_u$ um einen Faktor $\lambda$ vergrößert müssen die beiden Punkte für eine Überschattung im gleichen instabilen Blatt liegen. Nun kann man $d_s$ und die Umkehrfunktion der Abbildung betrachten. Dies ergibt, dass die beiden Punkte im gleichen Stabilen Blatt liegen. Die Punkte liegen also in der gleichen Randkomponente oder sind gleich.

lit_maretForcingRelationsPeriodic2018