Verschlingungszahl

Beschreibung

Die Verschlingungszahl gibt an, wie stark zwei Knoten miteinander verschlungen sind. Es ist eine Verschlingungsinvariante, kann also genutzt werden, um Verschlingungen auseinander zu halten. Ins

Definition

Seien $M,N$ zwei Komponenten einer Verschlingung. Wähle eine Orientierung für jede Komponente. Nun folgen wir einer Komponente. Wir zählen bei jeder Kreuzung der beiden Komponenten $+1$ wenn der nach nach rechts gehende Knoten über dem nach links gehenden Knoten liegt. Sonst zählen wir $-1$. Die Summe wird dann durch $2$ geteilt.

Gauss entwickelte eine Formel, mit der sich die Verschlingungzahl über ein Integral berechnen lässt.

Definition: Formel von Gauss

Definiere zwei Knoten als Kurven in ${\mathbb{R}}^n$: ${\gamma }_1,{\gamma }_2:S^1\to {\mathbb{R}}^n$. Betrachte die sogenannte Gaussabbildung, die vom Torus auf die Einheitssphäre abbildet. $\Gamma (s,t)=\frac{{\gamma }_1(s)-{\gamma }_2(t)}{|{\gamma }_1(s)-{\gamma }_2(t)|}$ Wähle einen Punkt der Einheitssphäre $v$. Nimmt $\Gamma$ diesen Punkt an, so bedeutet es, dass es einen Punkt auf ${\gamma }_1$ gibt, der in Richtung $v$ auf ${\gamma }_2$ blicken kann. In einer Knotenprojektion liegt damit ${\gamma }_2$ unter ${\gamma }_1$. Da $v$ regulär ist, ist das genau der Grad der Abbildung, d.h. es beschreibt, wie oft die Gauss Abbildung die Sphere überdeckt. Aber was ist mit zwei Verschlungenen Knoten? Ah, da ist die Überdeckungszahl vermutlich $0$

Die Verschlingungszahl ergibt sich nun aus dem Grad von $\Gamma$, indem wir die Fläche des Bildes von $\Gamma$ zählen und durch die Fläche der Einheitssphäre teilen. $link({\gamma }_1,{\gamma }_2)=\frac{1}{4\pi }{\int }_{S^1\times S^1}\frac{({\gamma }_2(t)-{\gamma }_1(s))\times {\gamma }_1(s)\cdot {\gamma }_2(t)}{\Vert {\gamma }_1(s)-{\gamma }_2(t)\Vert }dsdt$

Eigenschaften

Eigenschaft

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