Zufallsvariable

Beschreibung

Vergröberung (auch Bildmaß) ist eine spezielle Methode, mit der man aus einem Zufallsexperiment mit vielen verschiedenen Ergebnissen vergröbern kann. Die Ergebnisse der Vergröberung sind dann Ergeignisse des vorherigen Experiments.

Vergröberungen weren genutzt, um unwillkürlich Wahrscheinlichkeiten zu definieren.

Definition

Sei $(\Omega ,B_{\Omega },\lambda )=([0,1],B_{[0,1]},\lambda )$ ein Ergebnisraum. Eine Vergröberung ist eine (Projektions-) Abbildung $\pi :\Omega \to \tilde{\Omega }$. Die Vergröberung induzierrt ein Wahrscheinlichkeitsmaß auf $\tilde{\Omega }$: $\tilde{\lambda }:\mathcal{P}(\tilde{\Omega })\to [0,1],A\mapsto \lambda ({\pi }^{-1}(A))$ sodass $(\tilde{\Omega },\pi (B_{\Omega }),\tilde{\lambda })$ ein Wahrscheinlichkeitsraum ist.,

Allgemeine Definition

Sei $(\Omega \mathcal{A},\mu )$ Maßraum, $(\tilde{\Omega },\tilde{\mathcal{A}})$ Messraum. Dann heißt jede $\mathcal{A}$-$\tilde{\mathcal{A}}$-messbare Abbildung eine Vergröberung (auch Zufallsvariable)

Beispiele

Endliche Münzwürfe

Man kann endliches Münzwerfen aus unendlichem Müzwerfen (vgl. Rademacher Funktionen) erhalten, indem man die Würfe nach $n$vergisst: $R_n:[0,1[\to \{0,1{\}}^n,\omega \mapsto (r_1(\omega ),r_2(\omega ),...,r_n(\omega ))$

Anzahl an Kopf bei endlichen Würfen

Wir modellieren das Experiment, das nach $n$ Würfen die Anzahl der Köpfe zählt. Dieses erhalten wir durch die Vergröberung: $Z_n:[0,1[\to \{0,...,n\},\omega \mapsto {\sum }_{j=1}^n{r}_j(\omega )$