Einheitskreiskurve

Beschreibung

Eine Einheitskreiskurve ist eine Kurve, die gleichmäßig im Uhrzeigersinn alle Punkte des Einheitskreis durchläuft bis sie wieder am Anfangspunkt ankommt.

Definition

Standardkurve ${\kappa }_0$

Die Standard-Einheitskreiskurve ${\kappa }_0$ ist die Kurve, die beim Punkt $(1,0)$ beginnt, gleichmäßig im Uhrzeigersinn alle Punkte des Einheitskreis durchläuft bis sie wieder am Anfangspunkt ankommt.

Periodische Fortsetzung

Die Kurve ${\kappa }_0:[0,2\pi ]\to {\mathbb{R}}^2$ lässt sich periodisch auf $\mathbb{R}$ fortsetzen, indem alle $2\pi$ der Wert von ${\kappa }_0$ verwendet wird. d.h. $\kappa (2\pi i+t)={\kappa }_0(t)$

Eigenschaften

Menge der Einheitskurven in ${\mathbb{R}}^2$

Da das gleichmäßig Machen einer Kurve eindeutig ist, reicht schon ein Anfangspunkt auf dem Einheitskreis und eine Richtung (im oder gegen Uhrzeigersinn) aus, um eine Kurve zu bestimmen. Alle Einheitskreiskurven haben also die Form $\kappa (\theta \pm t)$ für ein $\theta \in [0,2\pi ]$

Zusammenspiel mit Rotationen

Verknüpft man Punkte der EInheitskurve mit einer Rotation (Geometrie), kann man einige lustige Eigenschaften herleiten.

$R_{\theta }(\kappa (0))=R_{\theta }\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)=\kappa (\theta )$, weshalb: $R_{\theta }(\kappa (t))=\kappa (\theta +t)$ In Matrixschreibweise: $\left(\begin{array}{c}\cos (\theta )\cos (t)-\sin (\theta )\sin (t)\\ \sin (\theta )cos(t)+\cos (\theta )\sin (t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta )& -\sin (\theta )\\ \sin (\theta )& \cos (\theta )\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}\cos (t)\\ \sin (t)\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos (\theta +t)& \\ \sin (\theta +t)& \end{array}\right)$ Was die Additionstheoreme von Sinus und Kosinus sind!!