Raumfüllende Kurve

Beschreibung

Raumfüllende Kurven sind Kurven, die jedem Punkt eines Raumes (Ebene, usw.) beliebig nahe kommen. Damit soll gezeigt werden, dass Dimension schwierig ist.

Motivation

$\mathbb{R}$ und ${\mathbb{R}}^2$ sind beide überabzählbar, also könnte es eine Möglichkeit geben $\mathbb{R}$ durch eine Kurve auf die Ebene ${\mathbb{R}}^2$ abzubilden.

Surjektive Abbildung $[0,1]\to [0,1{]}^2$

Es lässt sich zeigen, dass es eine stetige Bijektive Funktion $[0,1]\to [0,1{]}^2$ gibt. Es muss also eine solche Funktion geben.

Beweis: Nach den Eigenschaften der Cantor-Menge gibt es surjektive stetige Abbildungen

• $[0,1]\to C$
• $C\to C^2$
• $C^2\to [0,1{]}^2$

Bijektive Abbildung $\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$

Es gibt zwar eine surjektive, stetige Abbildung, aber keine bijektive, Stetige Abbildung $\mathbb{R}\to {\mathbb{R}}^2$

Da stetige, bijektive Abildungen genau die Homöomorphismen sind, ist die Dimension offenbar eine topologische Invariante. Sie verändert sich also nicht unter Homöomorphismen.

Eigenschaften

Nicht rektifizierbar

Eine Raumfüllende Kurve ist nicht rektifizierbar.

Beispiele

Hilbert-Kurve

Siehe Hilbert-Kurve