Baum von Gruppen

Beschreibung

Ein Baum von Gruppen ist ein Spezialfall des Graph von Gruppen. Bäume von Gruppen beschreiben Amalgamierte Produkte

Definition

Sei $(T,G)$ ein Graph von Gruppen, wobei $T$ ein Baum ist. Dann nennen wir das einen Baum von Gruppen.

Beispiele

Segmentförmiger Baum

Sei $T$ ein Baum mit folgender Segmentförmiger Struktur:

graph LR

P --y--> Q 

Diesem Baum werden Gruppen $G_P,G_Q,G_y$ zugeordnet. Dann ist dessen Direktes Produkt das Amalgamierte Produkt $G_P{\ast }_{G_y}{G}_Q$

Anhängen eines Kante an einen Baum

Hängen wir einen neuen Knoten $P$ mit Kante $y$ an einen Baum $T^{\prime }$ an und erzeugen dadurch den neuen Baum, dann gilt $G_T=G_{T^{\prime }}{\ast }_{G_y}{G}_P$

Amalgam meherer Gruppen an einer Untergruppe

Sei $(G_i{)}_{i\in I}$ eine Familie von Gruppen, $A$ eine Gruppe. Man stelle sich nun einen Baum vor, der aus einem Zentralem Knoten und einem angrenzenden Knoten für jedes $G_i$ besteht. Wir ordnen dem Mittelknoten das $A$ und den äußeren die $G_i$. Dann ist $G_T$ das Amalgamierte beliebig vieler Gruppen an einer Untergruppe $A$.