Primideal

Beschreibung

Primideale sind die Ideale, die sich bezüglich der Multiplikation von zwei Idealen $IJ$ wie Primelemente verhalten. Siehe dazu in die Eigenschaften

Definition

Ein Ideal $\mathfrak{p}$ in einem Kommutativer Ring $R$ wird Primideal genannt, wenn $\mathfrak{p}\ne (1)$ gilt und für alle $a,b\in R$ die Implikation $ab\in \mathfrak{p}⟹a\in \mathfrak{p}\text{ oder }b\in \mathfrak{p}$ erfüllt ist. ¹

Charakterisierung

Ideal eines Integritätsbereich

Sei $R$ ein Kommutativer Ring. $\mathfrak{p}$ ist genau dann ein Primideal, wenn $R/\mathfrak{p}$ ein Integritätsbereich ist. ²

Hauptideal eines Primelements

Sei $R$ ein Integritätsbereich und $p\in R,p\ne 0$. Das Hauptideal $(p)$ ist genau dann ein Primideal, wenn $p$ ein Primelement ist.³

Zusammenhang mit Faktorring

$\mathfrak{p}$ ist genau dann ein Primideal, wenn $R/\mathfrak{p}$ ein Integritätsbereich ist.⁴

Hinreichende Eigenschaften

Maximales Ideal

Jedes Maximales Ideal ist ein Primideal.⁵

Eigenschaften

Primideale sind wie Primelemente

Ein Primideal ist wie ein Primelement EIn Ideal $\mathfrak{p}$ in einem Ring $R$ ist genau dann ein Primideal in $R$, wenn $\mathfrak{p}\ne (1)$ ist und gilt: $\mathfrak{p}\subseteq IJ⟹\mathfrak{p}\subseteq I\text{ oder }\mathfrak{p}\subseteq J$ ⁶

Beispiele

Hauptideale

Alle Hauptideale einer Primzahl sind ein Primideal.

Footnotes

1. Gerkmann - Definition 6.11 ↩

2. Gerkmann - Satz 7.13 ↩

3. Gerkmann - Proposition ↩

4. Gerkmann - Satz 7.13 ↩

5. Gerkmann - Folgerung 7.14 ↩

6. Gerkmann - Proposition 6.12 ↩