Endliche Gruppe

Beschreibung

Eine endliche Gruppe ist eine Gruppe mit endlich vielen Elementen

Charakterisierungen

Satz

Sei $G$ eine Gruppe und $U$ eine Untergruppe. $G$ ist genau dann endlich, wenn sowohl $U$ als auch $G/U$ endliche Mengen sind.¹

Eigenschaften

Kleiner Satz von Fermat

Ist $G$ eine endliche Gruppe der Ordnung (Gruppe) $n$, dan ist $ord(g)$ für jedes $g\in G$ ein Teiler von $n$. Es gilt also $g^n=e_G$ für alle $g\in G$

Primzahlordnung

Jede Gruppe von Primzahlordnung ist zyklisch.

Nach dem Satz von Lagrange muss jede Untergruppe ein Teiler von $n$ sein. Da aber $n$ eine Primzahl ist, kann die Untergruppe nur Ordnung $1$ oder $n$ haben. Wähle $g\in G$. Ist $ord(g)=1$, dann folgt $g=e$. Es muss aber ein $g\ne e$ geben. Für das gilt dann $ord(g)=n$ und damit $⟨g⟩=G$

Disjuktivität von Teilerfremnden Gruppen

Sei $G$ eine Gruppe und seien $U,V\subset G$ endliche Untergruppen teilerfremder Ordnung (Gruppe) Dann gilt $U\cap V=\{e_G\}$

Footnotes

1. Gerkmann - Folgerung 4.9 ↩