Erzeugendensystem

Beschreibung

Das Erzeugendensystem einer Gruppe ist eine Menge, mit der man die Gruppe eindeutig konstruieren kann.

Erzeugendensysteme werden durch geknickte Klammern ausgedrückt: $⟨a⟩$

Es klingt ganz danach, als ob das genau die Generatoren einer Gruppe sind.

Definition

Sei $G$ eine Gruppe und $S\subset G$. $S$ (auch gennannt Generatoren) ist dann ein Erzeugendensystem der Untergruppe $U$ wenn

1. $U\supset S$
2. Ist $V$ eine weitere Untergruppe von $G$ mit $V\supset S$, dann folgt $V\supset U$

Das bedeutet: $U$ ist die kleinste Untergruppe, die $S$ enthält

Symmetrisches Erzeugendensystem

Ein Erzeugendensystem wird symmetrisch genannt, wenn für jedes Element auch das Inverse im Erzeugendensystem enthalten ist.

Berechnung

Sein $G$ eine Gruppe und $S\subset G$ eine Teilmenge.

Die Elemente von $⟨S⟩$ sind gegeben durch: $⟨S⟩=\{g_1^{{\epsilon }_1}\cdot g_2^{{\epsilon }_2}\cdot \cdots \cdot g_r^{{\epsilon }_r}|r\in {\mathbb{N}}_0,r_k\in S,{\epsilon }_k\in \{-1,1\}\text{ fu¨r }1\le k\le r\}$ ¹

Beispiele

Für Erzeugendensysteme muss die Obergruppe immer mit angegeben werden!

Leeres Erzeugendessystem

In jeder Gruppe $G$ gilt: $⟨\varnothing ⟩=\{e_G\}$

Ganze Zahlen

Die Gruppe $(\mathbb{Z},+)$ wird von $\{1\}$, ebenso $\{-1\}$, ebenso $\{2,3\}$ erzeugt.

Footnotes

1. Gerkmann - Satz 2.9 ↩