Konvexe Menge (Mannigfaltigkeit)

Beschreibung

Dies ist eine Verallgemeinerung von Konvexe Menge.

Definition

Eine Menge $X\subseteq M$ ist konvex, wenn für alle $x,y\in X$ eine Längenminimierende Geodätische in $X$ existiert, die die Punkte verbindet.

Innerhalb dieses Balls gilt: $d(p,{\exp }_p(v))=\Vert v\Vert$ für die Pfadmetrik (Glatte Mannigfaltigkeit)

Beispiele

Ball klein genug

Sei $(M,g)$ eine Riemannsche Mannigfaltigkeit. Dann existiert für jeden Punkt $p\in M$ ein $\epsilon$ klein genug, sodass $B_{\epsilon }(p)$ eine Geodätischer Ball und konvex ist.