Sigma-Endlichkeit

Beschreibung

Die $\sigma$-Endlichkeit liefert eine Unterteilung in $\sigma$-endliche und nicht $\sigma$-endliche Mengen. $\sigma$-endliche Mengen verhalten sich freundlicher und verursachen weniger Paradoxe.

Definition

Gegeben sei ein Maßraum $(X,\mathcal{A},\mu )$. $\mu$ heißt $\sigma$-endlich, wenn es eine der drei folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt.

1. Es existieren abzählbar viele Mengen $A_1,A_2,...$ aus $\mathcal{A}$ mit $\mu (A_n)<\infty$, die $X$ überdecken.
2. Es existieren abzählbar viele disjunkte Mengen $A_1,A_2,...$ aus $\mathcal{A}$ mit $\mu (A_n)<\infty$, die $X$ überdecken.
3. Es existiert eine strikt positive messbare Funktion $f$, (d.h. $f(x)>0$) sodass $\int f(x)\mu (dx)<\infty$