Hyperbolische Geometrie

Beschreibung

Hyperbolische Geometrie tauchte auf als Gegenstück zur Sphärische Geometrie. Man versteht darunter im wesentlichen eine Geometrie, in der Geraden schneller auseinanderlaufen als in der euklidischen Ebene.

Ich würde sagen, ein Raum ist hyperbolisch, wenn er einfach zusammenhängend ist und überall eine Sectional curvature von $-1$ besitzt. Was die herkömmliche Definition ist weiß ich nicht, da die Geometrie üblicherweise durch verschiedene Modelle charakterisiert wird.

Poincaré Kreisscheiben-Modell

Siehe Poincaré Scheibe

Hyperbolische Halbebene

Siehe Hyperbolische Halbebene

Hyperboloid

Siehe Hyperboloid

Ich glaube, es gibt eine einfache Isometrie auf die Poincaré-Scheibe. Betrachte die Scheibe $D^{n-1}=\{(x_1,...,x_{n-1},-1)\in {\mathbb{R}}^3:x_1^2+...+x_{n-1}^1\le 1\}$. Wir bilden nun Punkte des Hyperboloids auf die Kreisscheibe ab, indem wir eine Gerade durch $0$ zeichnen und die Schnittpunkte der Gerade mit Hyperboloid bzw. Kreisscheibe identifizieren. Ich nehme an, dass die induzierte Metrik die gleiche ist.

Eigenschaften

Eigenschaft