Beschreibung
Die Geschichtete Triangulation (engl. layered triangulation) ist ein einfacher Prozess, mit dem sich eine Transverse taut triangulation eines Abbildungstorus erstellen lässt.
Definition
Sei ein Pseudo-Anosovscher Homöomorphismus einer evtl. punktierten Fläche . Sei die Abbildung auf der Fläche , bei der die Singularitäten entfernt sind. Sei der Abbildungstorus. Es gibt eine natürliche Taut Ideale Triangulation des Torus.
Gibt es eine Folge von Triangulationen , die durch Whitehead-Aktion miteinander verbunden sind, kann man eine Taut Ideale Triangulierung des Abbildungstorus erstellen. Beginne dazu mit der Triangulation von . Für jede Whitehead-Aktion kleben wir nun einen Tetraeder wie folgt an. Die Tetraeder werden dabei so eingesetzt, dass die Orientierungen immer nach oben zeigen.
Dieser sorgt dafür, dass von oben betrachtet die zwei Dreiecke durch anders platzierte Dreiecke ausgetauscht werden. Da pA ist, wird dadurch tatsächlich jedes ursprüngliche Dreieck irgendwann ausgetauscht. Dadurch ist sichergestellt, dass das Resultat auch wirklich eine Triangulierung ist.
Eigenschaften
Eine geschichtete Triangulation ist genau dann Veering, wenn die Spaltungssequenz periodisch ist.
Beispiele
Natürliche Geschichtete Triangulation
Durch die Agol Zykel kann man eine natürliche Triangulation erhalten. Sei eine Zugstrecke des Zykels. Die Zugstrecke definiert eine Triangulation im folgenden Sinne:
Die Konstruktion ist hierbei einfach dual. Jedem Zweig wird eine transversale Dreiecksseite zugeordnet. Jedem Knoten eine Dreiecksfläche. Da jeder Knoten drei-Valent ist, erhält man dadurch nur Dreiecke. Ich verstehe noch nicht ganz, wie die Dreiecke jedoch die ganze Mannigfaltigkeit füllen. Vielleicht hat das mit der Voraussetzung zu tun, dass jede Zusammenhangskomponente ene einfach Punktierte Scheibe ist.