Centre (Gruppe)

Summary

Definition

Let $G$ be a Group, then the centre is: $Z(G)=\{g\in G:gh=hg,\forall h\in G\}$ or equivalently the fixed point set under Konjugation (Gruppe): $Z(G)=\{g\in G:h^{-1}gh=g,\forall h\in G\}$

Eigenschaften

Connection to normal subgroups

• The centre is Normalteiler
• Every Subgroup of the centre is a normal subgroup

Commutativity

The centre is an Abelsche Gruppe.

Verbindung zum direkten Produkt

Formatiere das Cayley-Diagramm so, dass die Erzeuger des Zentrums die Gruppenelemente, die nicht im Zentrum liegen miteinander Verbinden. Jedem Element des Zentrums lässt sich also eine Nebenklasse $zU$ einer resultierenden Untermenge $G$ zuordnen.

Ich gehe mal davon aus, dass diese Untermenge auch eine Subgroup ist.

Wendet man erst $u\in U$, dann $z$ an, landet man beim gleichen Element, wie wenn man erst $z$ und dann $u$ anwendet.

Ist $z$ ein Element, mit dem man sich in eine Nebenklasse bewegt, dann muss diese Nebenklasse die gleiche Struktur haben wie $U$ haben. Beim Zentrum sind die Nebenklassen somit nicht neuverkabelt. $G$ ist damit ein Produkt aus dem Zentrum und $U$.