Akihiro Takano - Stabilizer subgroups of Thompson's group F in Thompson knot theory

Beschreibung

Abstract

Jonesは2017年、Thompson群と呼ばれる群のユニタリ表現を研究する過程で、Thompson群の元から結び目（絡み目）を構成する手法を発見し、さらに任意の結び目や絡み目がこの手法で得られることを示した。しかし、異なる2つの元が同じ結び目（絡み目）を与えるための条件は現在でもあまりわかっていない。Jonesの手法をより深く理解するための足がかりとして、Thompson群の部分集合、特に部分群に着目し、そこから得られる結び目や絡み目の性質を調べる。本講演では、Thompson群のある固定部分群に関して得られた結果について発表する。本研究は、児玉悠弥氏（鹿児島大学）との共同研究である。

Talk

Introduction

Wir erklären den Satz von Alexander für den Zopfabschluss. Dieser Satz im Grund aus, dass alle Knoten als Zopfabschlüsse realisiert werden können.

Insbesondere, können wir eine explizite Äquivalenz auf der Zopfgruppe $B_{\infty }$ definieren, sodass die Abbildung in die Menge der Knoten bijektiv ist. Dies ist bekannt als Satz von Markov

Heute fokussieren wir und auf Thompsons Gruppe $F$. Jones (aielloIntroductionThompsonKnot2023) zeigte, dass man aus Elementen von Thompsons Gruppen Knoten erzeugen kann. Diese Abbildung ist surjektiv aber nicht bijektiv (Jones 19). Es stellt sich daher die Frage, kann man wie eben eine Äquivalenz finden, um eine Bijektivität zu erhalten? Die Abbildung wird mit $\mathcal{L}$ bezeichnet.

If two elements give the same knot, does their product also give the same knot? No, if we take the same element twice and multiply it with itself we already get a different knot. ⇒ Equivalence is not a subgroup/coset

Es stellt sich die Frage: Für eine Untergruppe $G\subseteq F$, was ist das Bild unter $\mathcal{L}$ und sind es alle Knoten? Auf jeden Fall gibt es Gruppen, die nicht alle Knoten enthalten, z.B. die 3-Färbbare Thompsonuntergruppe.

Heute wollen wir die Thompson Stabilisator Untergruppe betrachten, also die Thompson-Gruppen-Elemente, die als Abbildung auf dem Einheitsintervall einen Punkt $p$ fixieren.

Interessant, die Einleitung fühlt sich sehr an, wie in einem Paper, wo die Geschichte erklärt wird aber nicht zu viel auf Definitionen eingegangen wird. Trotzdem war alles sehr klar.

Thompson Knoten Theorie

Wir definieren die Thompson Gruppe als Menge von stückweise linearen Abbildungen mit Brechpunkten an diadischen rationalen Zahlen.

Wir beschreiben dann, wie man sich diese Abbildungen auch als zusammengesteckte Bäume realisiert werden können. Wir beschreiben, wie die Darstellung als Bäume nicht eindeutig ist aber dass sie durch einfache Operationen ineinander überführt werden können. Des Weiteren gibt es eine reduzierte Form.

Akihiro Takano schreibt einige algebraische Eigenschaften von $F$ auf. ($F$ ist bekannt, einige komische Eigenschaften zu haben)

• endlich präsentiert
• torsions-frei
• $[F,F]$ ist einfach
• $Z(F)=1$ Zentrum (Gruppe)
• $F^{ab}={\mathbb{Z}}^2$
• Für alle $k$ gibt es Einbettungen von ${\mathbb{Z}}^k$

Jones’ Construction

Wir erklären, wie Jones aus reduzierten zusammengesteckten Bäumen der Thompsongruppe Knoten erzeugt hat. Akihiro sieht dann selbst ein, dass es sich nach einer sehr künstlichen Konstruktion anfühlt.

Verwendet man nicht-reduzierte Bäume, dann kommen bei der Konstruktion unverschlungene Ringe raus.

Stabilisator Untergruppen von $F$

Sei $S\text{subeteq}[0,1]$. $Stab(S)$ sind alle Elemente der Thompson Gruppe die die Menge $S$ als Menge erhält. Wir nehmen $S=\{r\},r\in (0,1)$ kodamaAlexanderTheoremStabilizer2023 zeigte, dass bei $r\ne \frac{1}{2}$ die Abbildung der Stabilisatorgruppe surjektiv auf die Knoten abbildet. Bei $r=\frac{1}{2}$ tut sie das nicht. In dem Fall kommt immer ein Verschlingung heraus, der einen disjunkten trivialen Knoten hat.

Bei unendlichen Mengen, machen wir folgendes: Wir identifizieren dyadische rationale Zahlen mit binären Wörtern. Als Beispiel betrachten wir uns eine Konstruktion von Jones. Hier besteht $S$ aus allen rationalen Elementen, deren binäre Repräsentation eine gerade Anzahl von $1$en hat. Diese Gruppe wir die Oriented Subgroup $\vec{F}$ bezeichnet. Jones 17, Aiello 20 zeigten, dass diese Untergruppe surjektiv auf die Knoten abbildet. Insbesondere ist die schwach surjektiv (was auch immer das heißt)

Als nächstes konstruieren wir eine neue Menge, nämlich die Untergruppe aus den Wörtern, die eine durch $n$ teilbare Mengen von $1$en haben. (Golan-Sapir 17). Für ${\vec{F}}_3$ ist die Gruppe surjektiv. Für $F_{2n+1}$ ist die Gruppe schwach surjektiv.

Als nächstes definieren wir die Brown-Thompson-Gruppen und beschreiben einige fundamentale Eigenschaften dieser. z.B. dass die Brown Gruppen aufsteigend ineinander eingebettet sind.

Dann definieren wir die 3-Färbbare Thompsonuntergruppe und die $n$-färbbare Thompsonuntergruppe. Diese ergibt ja nur Knoten, die jeweils n-Färbung haben. Diese Abbildung ist also nicht surjektiv. Wir beschreiben ganz schnell, die Beweisskizze dafür.

Mir ist aufgefallen, dass Akihiro Takano nicht zu seiner eigenen Forschung sagt, sondern stattdessen ruhig die Grundlagen erklärt. Ich glaube, die Tatsache, dass man mit dieser Gruppe überhaupt Knoten studieren kann, ist schon wild genug.