Konvergenz in Wahrscheinlichkeit

Beschreibung

Die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit ist eine Möglichkeit eine Konvergenz von Zufallsvariablen zu formalisieren. Die Konvergenz in Wahrscheinlichkeit gibt an, wie sich die Wahrscheinlichkeiten von bestimmten Ereignissen entwickeln. Eine Klassische Anwendung ist das Schwaches Gesetz der Großen Zahlen.

Definition

Sei $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum darauf, $X$ eine weitere Zufallsvariable, dann definieren wir $X_n\stackrel{P}{\to }X:⟺\forall \epsilon >0:{\lim }_{n\to \infty }P(|X_n-X|\ge \epsilon )=0$

Das bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit, dass sich $X_n$ und $X$ stark von einander unterscheiden geht gegen $0$.

Eigenschaften

Eigenschaft

Beispiele

Schwaches Gesetz der Großen Zahlen

Nach dem schwachen Gesetz der großen Zahlen gilt: ${\hat{X}}_n\stackrel{P}{\to }\mu (X_1)$ Mir einer steigenden Anzahl von Experimenten wird es nämlich immer wahrscheinlicher, dass der Durchschnitt in der Nähe des Mittelwerts landet. Die Folge konvergiert in Wahrscheinlichkeit gegen den Mittelwert.