Zeitabhängige Poisson Verteilung

Beschreibung

Verallgemeinert man die Poisson Verteilung, sodass die Zeit eine Variable wird, erhält meine eine Familie neuer Verteilungen, die im wesentlichen angeben, wie lange man warten muss, damit $n$ Ereignisse eintreten.

Herleitung

Die normale Poissonverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit aus, dass in einem festen Zeitrahmen $k$ Treffer eintreten. Wir probieren naiv, die Zeit $t$ variabel zu machen.

Wenn wir dadurch eine Wahrscheinlichkeitsdichte bekommen wollen, muss das Integral $1$ ergeben. Ausrechnen ergibt aber den Wert $1/a$. Wir müssen also für die zeitabhängige Poisson Verteilung ein $a$ hinzufügen (wir schreiben außerdem $n$ statt $k$): $p_n=a^{n+1}{t}^n\frac{e^{-at}}{n!}$

Es gibt auch eine Erklärung, die über die Substitution $x=at$ geht, aber die habe ich nicht verstanden.

Erneutes Bilden des Integrals ergibt den Wert $1$. Wenn man also lange genu wartet, werden irgendwann $n$ Ergebnisse eingetreten sein.

Eigenschaften

Maxima

Die Maxima sind der Zeitpunkt, an dem man mit größter Wahrscheinlichkeit genau $n$ Ergebnisse erwarten soll. Differenzieren ergibt für $n>0$ die kritischen Punkte $t=0$ und $t=n/a$. Eine graphische Analyse zeigt uns, dass letzteres das Maximum ist. Der Wert im Maximum ist $p_n(n/a)=a{n}^n\frac{e^{-n}}{n!}$

lit_hammingArtProbability2018