Poisson Verteilung

Beschreibung

Wenn ein Ereignis in einer Sekunde mit Wahrscheinlichkeit $p$ eintritt, wie viele Ereignisse sind dann in einer Sekunde, Minute, Stunde möglich. Führen wir den Gedanken zu Ende, bekommen wir die Poisson-Verteilung. Diese sagt uns, wie häufig Ereignisse in einer kontinuierlichen Zeit eintreten.

Definition

Eine Zufallsvariable $N$ wird Poissonverteilt genannt, wenn für alle $k\in {\mathbb{N}}_0$: $P(N=k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$ und schreiben $N\sim Poi(\lambda )$ bzw. ${\mathcal{L}}_P(N)=Poi(\lambda )$

Herleitung

Wir leiten die Wahrscheinlichkeit oberer Frage aus einer Bernoulli-Kette her. Sei $[0,t]$, $t\in \mathbb{N}$ ein Zeitintervall. Dieses Intervall wird unterteilt in $n$ gleich große standardisierte Teilintervalle (z.B. Sekunden) von Länge $t/n$. In jedem Teilintervall gibt es eine Wahrscheinlichkeit von $p$, dass ein Ereignis eintritt.

Die Wahrscheinlichkeit über ganz $[0,t]$ $k$ Ereignisse zu bekommen, errechnet sich einfach durch die Bernoulli-Verteilung. $P_k(t)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$

Wir unterteilen nun jedes Teilintervall in $m$ kleinere Intervalle der Länge $t/mn$. In jedem Intervall gibt es dann eine Ereigniswahrscheinlichkeit von $p/m$.

Durch eine Bernoulli-Verteilung lässt sich wieder die Wahrscheinlichkeit berechnen: $P_{k,m}(t)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{nm}{k}\right)(p/m{)}^k(1-p/m{)}^{n-k}$ Wir können die Wahrscheinlichkeit umstellen und dann die Unterteilungsschärfe $m$ gegen $\infty$ gehen lassen. $P_{k,m}(t)\to \frac{(np{)}^k}{k!}{e}^{-np}=:P_k(t)$ Zu Erinnerung: In dieser Formel beschreibt $p$ die erwartete Menge an Ereignissen pro Zeiteinheit. $np=:\lambda$ beschreibt damit die Gesamtzahl der erwarteten Ereignisse. Wir erhalten: $P_k(t)=\frac{(np{)}^k}{k!}{e}^{-np}=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$

Am Ende mag es so aussehen, als ob die Poisson-Verteilung nicht von $t$ abhängt. Berücksichtige daher, dass $t$ im $\lambda$ drin steckt.

Eigenschaften

Vergleichbarkeit mit Binomialverteilung

Es gilt $B(k,n,p_n)\to P(k,\lambda =\lim n{p}_n)$.

Erzeugende Funktion

DIe Erzeugende Funktion (Stochastik) ist ${\sum }_0^{\infty }\frac{z^k{\lambda }^k{e}^{-\lambda }}{k!}=e^{(z-1)\lambda }$

Erwartete Häufigkeiten

Wir betrachten die Wahrscheinlichkeiten für das Auftreten von Ereignissen im Intervall $t/a$. Das ist das Intervall, in dem wir ein einziges Ereignis erwarten.

Ausrechnen ergibt die Tabelle:

Auftretenshäufigkeit	Wahrscheinlichkeit
$P_0(1/a)$	$36,7\%$
$P_1(1/a)$	$36,7\%$
$P_2(1/a)$	$18,3\%$
$P_3(1/a)$	$6,1\%$
$P_4(1/a)$	$0,3\%$

Es ist also sehr gut möglich, in dem einen Zeitintervall mehr als ein Ereignis zu bekommen. Was ich jetzt aber nicht verstehe: Das Berechnen des Erwartungswertes gibt uns einen Wert $=1$. Beim Zusammenzählen der oberen Tabelle erhält man jedoch offensichtlich mehr als $1$?

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