Bedingtes Wahrscheinlichkeitsmaß

Beschreibung

Das Bedingte Wahrscheinlichkeitsmaß gibt die Wahrscheinlichkeit für ein Ereignis unter Annahme des Eintretens eines anderen Ereignisses an. Es steht in enger Beziehung mit der Unabhängigkeit (Stochastik)

Definition

Sei $(\Omega ,\mathcal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $B\in \mathcal{A}$ mit $P(B)>0$, dann heißt für alle $A\in \Omega$ $P(A|B):=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ auf $B$ bedingtes Wahrscheinlichkeitsmaß bzgl. $P$.

Eigenschaften

Totales Wahrscheinlichkeitsmaß

Sei $I$ eine abzählbare Indexmenge mit Familie $(B_k{)}_{k\in I}\in {\mathcal{A}}^I$ eine Partition von $\Omega$, d.h. $\Omega ={⨆}_{k\in I}{B}_k$ mit $P(B_k)>0$ für alle $k$. Dann gilt $\forall A\in \mathcal{A}:P(A)=\sum _{k\in I}P(A|B_k)P(B_k)$

Das ist im Wesentlichen die Pfadregel, die besagt, dass man benachbarte Wahrscheinlichkeiten addieren darf.

Formel von Bayes

Sei $I$ eine abzählbare Indexmenge mit Familie $(B_k{)}_{k\in I}\in {\mathcal{A}}^I$ eine Partition von $\Omega$, d.h. $\Omega ={⨆}_{k\in I}{B}_k$ mit $P(B_k)>0$ für alle $k$. Sind außerdem $(P(A|B_k){)}_{k\in I}$ und $(P(B_k){)}_{i\in I}$ bekannt, können wir auf $P(B_k|A)$ schließen. $P(B_k|A)=\frac{P(B_k\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{P(A)}=\frac{P(A|B_k)P(B_k)}{\sum _{j\in I}P(A|B_j)P(B_j)}$

Intuitiv verallgemeinern wir das Vorgehen, dass man aus dem Wahrscheinlichkeitsbaum bereits kennt.